Inhalte mathematischen Lernens

Mathematikunterricht steht leicht in der Gefahr, in ein unstrukturiertes Abarbeiten von Aufgaben abzugleiten, wenn Kriterien fehlen, um entscheiden zu können, welche Inhalte und welche Verfahren mehr und welche weniger bedeutungsvoll sind.

Deshalb müssen die Inhalte mathematischen Lernens zunächst in engem Zusammenhang mit dem dargestellten Gesamtkonzept des Lernens gesehen werden. Zum anderen kommt es bei Auswahl, Anordnung und Akzentuierung der Inhalte darauf an, sich an fundamentalen Ideen der Mathematik zu orientieren; sie für das jetzige wie für das zukünftige Handeln von gleichbleibend großer Bedeutung sind.

Im didaktischen Konzept eines Rahmenplanes haben deshalb fundamentalen Ideen der Mathematik eine wichtige Funktion als Orientierungshilfe.

• Stellenwertdarstellung von Zahlen,
• Symmetrie,
• Algorithmus,
• Messung,
• Näherung,
• Funktion,
• Teil-Ganzes-Relation,

sie sind Beispiele für fundamentale Ideen, die in der Grundschulmathematik eine Rolle spielen. Als stark miteinander vernetzte mathematische Konzepte können sie zu einem besseren Verständnis der Mathematik und der realen Welt führen. Darin sind sie den traditionellen Inhaltsbereiche Geometrie, Arithmetik, Sachrechen/Größen, die stark in sich abgegrenzt sind, weit überlegen.
Fundamentalen Ideen wirken wie Magnetfelder; sie strukturieren einerseits die Vielfalt der Details und schaffen Ordnung und Übersicht. Darüberhinaus erschließen sie Sinn und Bedeutung. Somit wird das Erkennen und Verstehen von Zusammenhängen erleichtert. Fundamentale Ideen lassen sich im Unterricht anhand unterschiedlicher mathematischer Fragestellungen und auf verschiedenen Niveaustufen immer wieder aufgreifen. Zugleich öffnen sie Übergänge zu angrenzenden Lernfeldern wie z. B. dem Sachunterricht oder der Musik. Damit verknüpfen sie mathematische und außermathematische Phänomene in inhaltlich sinnvoller Weise. Sie eröffnen für die Unterrichtsgestaltung neue interessante Bezüge als fächerübergreifende Arbeitsvorhaben und können damit einen Beitrag zum Ordnen von Welt leisten.

Da die Fundamentalen Ideen keine in sich klar gegeneinander abgegrenzten Bereiche darstellen, ist es wichtig, dass unter Lehrkräften immer wieder darüber gesprochen wird, worauf es im Mathematikunterricht wirklich ankommt, und welche Fragestellungen und Unterrichtsvorhaben sich besonders eignen, entdeckendes Lernen zu ermöglichen um den strukturellen Kern der Mathematik zu erschließen.

Fundamentale Ideen in der Grundschule
(Professor Heinrich Winter, Aachen)

Allgemeinere Anmerkungen zu Fundamentalen Ideen (FI)

Stellenwertdarstellung von Zahlen
Das Besondere, Fundamentale an der Stellenwertdarstellung von Zahlen als Symbolik ist ihre höchst effiziente Systematik. Mit einer endlichen Anzahl von Ziffern (in unserem Dezimalsystem zehn) kann jede Zahl (bis ins Unendliche) unter Nutzung des Schreibraumes (Stelle) eindeutig dargestellt werden. Die Kinder können hier eine Ahnung von der Unendlichkeit der Zahlenwelt verspüren.
Darüber hinaus bleibt die Stellenwertdarstellung von natürlichen Zahlen in der GS als fundamentale Symbolik in den Zahlbereichserweiterungen der Sekundarstufen erhalten.

Symmetrie (und Symmetriebrechung)
Die Symmetrie ist eine weit zu fassende Idee, sie ist sozusagen kosmisches Prinzip. Überall, wo Muster erkennbar sind, liegt ein Symmetriephänomen vor. Neben den räumlichen und arithmetischen Mustern sind die zeitlichen Muster (Rhythmus von Tag und Nacht, Rhythmus der Jahreszeiten, ...) besonders wichtig. Ferner sind z. B. auditive Muster in der Musik und motorische Muster im Tanz zu finden.
In der Mathematik manifestiert sich die Symmetrie am augenfälligsten in geometrischen Formen. Aber auch die Arithmetik beruht häufig auf Symmetrie (gerade und ungerade Zahlen, Quadratzahlen, ...).

Algorithmus
Algorithmen (Vorgehenspläne) sind nicht nur in der Mathematik vorherrschend, sondern auch im beruflichen und alltäglichen Leben. Beispiele für alltägliche Algorithmen sind: Telefonieren, Einkaufen, Kaffee kochen, ... Wer in seinem Beruf die für seine Arbeit wichtigen Algorithmen routinisiert hat und sicher beherrscht, gilt als Profi und Experte.
In der Mathematik der GS bilden die Verfahren des mündlichen, halbschriftlichen und schriftlichen Rechnens das Zentrum des algorithmischen Arbeitens. Hierbei kommt es auf das möglichst eigenständige Erarbeiten, Begründen, Modifizieren und Bewerten von algorithmischen Prozessen an.

Messung
Auch das Messen, das Maß gehören zum Alltag, wie zahlreiche alltägliche Begriffe zeigen: abmessen, unangemessen, vermessen, maßvoll, maßlos, unermesslich, ...
Im Mathematikunterricht der GS ist Messen die unverzichtbare Basis zum Aufbau von Größenbegriffen und damit für das Verstehen von Phänomenen unserer Welt.

Näherung (Approximation)
Hier geht es um Begriffe wie Nachbarschaft, Umgebung, Begrenzung, Beschränkung, Zusammenhang u. ä., also Begriffe, die sowohl in der Alltagserfahrung Bedeutung haben als auch in verschiedener Weise mathematisch ausdifferenziert werden können (z. B. Überschlagen, Runden (Ab-) Schätzen von Lösungen; Rechnen mit Näherungswerten, Durchschnittswerten, zufallsbehafteten, schwankenden Werten; benachbarte Seitenflächen, zusammenstoßende Kanten, Randpunkte, Umgebungen, Umfänge, ...).

Funktion
Funktionen (Zuordnungen) spielen sowohl in der Mathematik als auch im Alltag eine herausragende Rolle. Sie beschreiben die Beziehung bzw. die Abhängigkeit, die zwischen zwei Elementen einer (oder verschiedener) Mengen besteht (jeder Zahl ihr Doppeltes, jedem Quadrat sein Flächeninhalt, jeder Ware ihren Preis, jedem Menschen sein Alter, jedem Zeitpunkt des Tages eine Zeigerstellung auf der Uhr usw.).
Sicherlich kann man in der Grundschule nicht zu einer Klärung des Funktionsbegriffs kommen, aber der Mathematikunterricht sollte in Inhalt und Gestaltung von der Idee der Funktion durchdrungen sein.

Teil-Ganzes-Relation
Hier handelt es sich um eine fundamentale Idee, die mit grundlegenden logischen und heuristischen Fragestellungen zu tun hat, die in verschiedenen mathematischen Gebieten auftreten und auch im alltäglichen Handeln eine Rolle spielen.
Immer, wenn es um eine Gesamtheit von Objekten irgendeiner Art geht, etwa um eine Menge von Menschen, versucht man darin Strukturen, Muster, Auffälligkeiten zu erkennen. Eine fundamentale Frage ist dabei, inwieweit sich Objekte durch bestimmte Eigenschaften (Merkmale) von anderen der Gesamtheit unterscheiden. Z. B.: Wie viele der Kinder in der Klasse sind schon 8 Jahre alt? Wer ist im Sportverein? Und auf die Mathematik bezogen: Welche Zahlen sind durch 7 teilbar? Welche sind durch 5, aber nicht durch 8 teilbar? Usw.
Wesentlich ist dabei, dass Zusammenhänge aufgedeckt werden (z. B. wenn eine Zahl durch 8 teilbar ist, ist sie auch durch 4 teilbar).

Professor Heinrich Winter, Juli 2001

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